H αντινομία του Russel μπορεί να διατυπωθε'ι ως θεώρημα ;  

 

 Θεωρημα

"Δεν δυναται να υπαρξει μη κενο συνολο Α, του οποιου τα στοιχεια ειναι ολα τα συνολα τα οποια δεν περιεχουν τον εαυτο τους" 

 Αποδειξη

Εστω οτι υπαρχει μη κενο συνολο Α, το οποιο εχει ως στοιχεια ολα τα συνολα που δεν εμπεριεχουν τον εαυτο τους.

Για το συνολο Α δυο ενδεχομενα υπαρχουν:
ή Ι. θα περιεχει τον εαυτο του
ή ΙΙ. δεν θα περιεχει τον εαυτο του.

Εαν ισχυει το ( Ι ) και περιεχει τον εαυτο του, τοτε δεν μπορει να περιεχεται στον εαυτο του και να ειναι στοιχειο του εαυτου του, λογω της κατασκευης του. Πραγμα το οποιο ειναι αντιφατικο: περιεχει τον εαυτο του οταν δεν εμπεριεχει τον εαυτο του.


Εαν ισχυει το ( ΙΙ ) και δεν περιεχει τον εαυτο του, τοτε υποχρεωτικα αποτελει στοιχειο του εαυτου του και παλι λογω της κατασκευης του. Πραγμα το οποιο επισης ειναι αντιφατικο: δεν εμπεριεχει τον εαυτο του και αυτο υποχρεωτικα το καθιστα στοιχειο του εαυτου του.

Κατα συνεπεια μη ισχυοντων ουδενος των δυο ενδεχομενων Ι, ΙΙ, η αρχικη μας υποθεση περι της υπαρξεως του μη κενου συνολου Α, δεν ευσταθει. Και αρα αποδειχθηκε το ζητουμενο. 

👀  Τι λέτε γι  αυτό;;;;